최단 경로 알고리즘

1. 최단 경로 문제란?

• 최단 경로 문제란 두 노드를 잇는 가장 짧은 경로를 찾는 문제임
• 가중치 그래프 (Weighted Graph) 에서 간선 (Edge)의 가중치 합이 최소가 되도록 하는 경로를 찾는 것이 목적

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최단 경로 문제 종류

1. 단일 출발 및 단일 도착 (single-source and single-destination shortest path problem) 최단 경로 문제

• 그래프 내의 특정 노드 u 에서 출발, 또다른 특정 노드 v 에 도착하는 가장 짧은 경로를 찾는 문제

 

2. 단일 출발 (single-source shortest path problem) 최단 경로 문제

• 그래프 내의 특정 노드 u 와 그래프 내 다른 모든 노드 각각의 가장 짧은 경로를 찾는 문제
• 따지고 보면 굉장히 헷깔릴 수 있으므로 명확히 하자면,
  예를 들어 A, B, C, D 라는 노드를 가진 그래프에서 특정 노드를 A 라고 한다면, A 외 모든 노드인 B, C, D 각 노드와 A 간에 (즉, A - B, A - C, A - D) 각각 가장 짧은 경로를 찾는 문제를 의미함

 

3. 전체 쌍(all-pair) 최단 경로: 그래프 내의 모든 노드 쌍 (u, v) 에 대한 최단 경로를 찾는 문제

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2. 최단 경로 알고리즘 - 다익스트라 알고리즘

• 다익스트라 알고리즘은 위의 최단 경로 문제 종류 중, 2번에 해당
  
  
  • 하나의 정점에서 다른 모든 정점 간의 각각 가장 짧은 거리를 구하는 문제

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다익스트라 알고리즘 로직

첫 정점을 기준으로 연결되어 있는 정점들을 추가해 가며, 최단 거리를 갱신하는 기법

 

다익스트라 알고리즘은 너비우선탐색(BFS)와 유사

• 첫 정점부터 각 노드간의 거리를 저장하는 배열을 만든 후, 첫 정점의 인접 노드 간의 거리부터 먼저 계산하면서, 첫 정점부터 해당 노드간의 가장 짧은 거리를 해당 배열에 업데이트
• 다익스트라 알고리즘의 다양한 변형 로직이 있지만, 가장 개선된 우선순위 큐를 사용하는 방식에 집중해서 설명하기로 함

 

우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘

• 우선순위 큐는 MinHeap 방식을 활용해서, 현재 가장 짧은 거리를 가진 노드 정보를 먼저 꺼내게 됨

 

1) 첫 정점을 기준으로 배열을 선언하여 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 저장

• 초기에는 첫 정점의 거리는 0, 나머지는 무한대로 저장함 (inf 라고 표현함)
• 우선순위 큐에 (첫 정점, 거리 0) 만 먼저 넣음 

 

2) 우선순위 큐에서 노드를 꺼냄

• 처음에는 첫 정점만 저장되어 있으므로, 첫 정점이 꺼내짐
• 첫 정점에 인접한 노드들 각각에 대해, 첫 정점에서 각 노드로 가는 거리와 현재 배열에 저장되어 있는 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 비교한다.
• 배열에 저장되어 있는 거리보다, 첫 정점에서 해당 노드로 가는 거리가 더 짧을 경우, 배열에 해당 노드의 거리를 업데이트한다.
• 배열에 해당 노드의 거리가 업데이트된 경우, 우선순위 큐에 넣는다.
  
  
  • 결과적으로 너비 우선 탐색 방식과 유사하게, 첫 정점에 인접한 노드들을 순차적으로 방문하게 됨
  • 만약 배열에 기록된 현재까지 발견된 가장 짧은 거리보다, 더 긴 거리(루트)를 가진 (노드, 거리)의 경우에는 해당 노드와 인접한 노드간의 거리 계산을 하지 않음

 

3) 2번의 과정을 우선순위 큐에 꺼낼 노드가 없을 때까지 반복한다.