선형대수 용어 정리 고유벡터(eigen vector) : 선형변환했을 때 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 벡터 고유값(eigen value) : 고유벡터가 변환되는 크기 행렬식(deteminant) : ad-bc, 부피 determinant = 0 : 행렬을 구성하는 벡터가 서로 동일선상(colinear)에 있다는 것 기저(basis) : 벡터 공간을 생성하는 선형독립인 벡터들 벡터공간(Vector space) : basis로 생성 가능한 공간 부분공간(Subspace) : 전체 공간의 일부분 Span : 기저 벡터들로 구성되는 2차원 부분 공간 랭크(Rank) : 행렬의 열벡터에 의해 span된 벡터공간의 차원 정규 직교 기저 : 벡터의 크기가 1이고 서로 수직인 기저 벡터, A-1 = AT, AAT..

행렬에 벡터를 넣어주면 다른 벡터가 나온다. 행렬은 선형변환이다 = 행렬은 일종의 함수처럼 작동한다. 선형 변환이 되어서 (3,3)의 결과가 나온다. 어떤 벡터들은 선형 변환 시 크기만 바뀌고 방향이 바뀌지 않을 수 있다. Eigen value, Eigen vector 고유 벡터 : 벡터 x에 행렬을 곱해줬을 때(선형변환 시켜줬을 때), 크기만 변하고 원래 벡터와 평행한 벡터 Eigen vector(고유 벡터) : 입력 벡터 x를 A로 선형변환 시킨 결과 Ax가 그저 x가 상수배 된 벡터 여기서 x 가 Eigen vector(고유 벡터), 변한 크기인 람다가 Eigen Value(고유값)이 된다. (A-람다 I) 가 역행렬을 가지게 되면, (A-람다 I)x = 0 에 역행렬을 곱해주면 x = 0 이 되므..

행렬이 가지는 의미는 벡터에 대해서 어떤 다른 벡터를 출력시켜주는 함수로 작용한다. 이것을 선형 변환이라고 부르자고 했다. 선형변환을 통해 완전히 다른 세계가 된다!! 또한 행렬은 벡터 공간 자체를 변형시켜주는 선형 연산자이다. 행렬식이 의미하는 것 행렬식 평행사변형 넓이 자체가 ad-bc 가 된다. 행렬식의 성질 역행렬 역행렬은 원래 행렬에 대한 역 선형 변환이다. Ref : https://angeloyeo.github.io/2019/08/06/determinant.html

행렬의 곱이라는 것은 두 열벡터의 선형 결합으로 볼 수 있지 않을까? 의 관점으로 볼 수 있다. 행렬 자체가 열벡터에 대한 함수로 작동할 수 있다. 함수인데 특정한 규칙이 정해진 함수라고 생각할 수 있다. 임의의 벡터 →a, →b와 스칼라 c 에 대하여 변환 T 가 다음의 두 조건을 만족한다면 이 변환 T 는 선형변환이다. 따라서, 위의 선형 변환의 성질에 따라, 임의의 벡터 (x, y)에 대해서 다음이 성립한다. x와 y는 분리가 된다. 원래의 기저 벡터 두 개를 아래와 같이 ^i, ^j 라 하고, 새로운 기저 벡터를 ^inew, ^jnew 라 했을 때, T 가 선형변환이라면, 벡터 [x y] 는 선형 변환 후에 새로운 기저 벡터 ^inew 와 ^jnew 의 x 배와 y 배의 합으로 표현되어야 한다는 ..

지금까지 우리는 벡터란 무엇인지에 대해 알아보고, 행렬과 벡터의 곱에 대해 알아보았다. 짧게 요약하자면 벡터란 상수배(곱셈 규칙)와 덧셈 규칙이 정의되는 원소들이라고 하였으며, 이들의 집합에 이 연산들이 정의된 집합을 벡터 공간(vector space)라고 한다고 하였다. 여기서 이러한 상수배와 덧셈 규칙이 정의되는 원소들을 ‘선형성을 갖는다’라고 표현한다. 또, 행렬은 벡터를 또 다른 벡터로 변환 시키는 일종의 연산자로 볼 수 있으며, 특히 행렬과 벡터의 곱은 행렬의 열벡터들을 얼마나 선형결합 시킬 것인가라는 의미로 볼 수 있다고 하였다. 이번 시간에는 행벡터의 기능과 역할에 대해 알아보고, 이를 통해 벡터의 내적이 왜 기하학적으로 한 벡터에서 다른 벡터로의 정사영과 관련이 되어 있는지를 알아보고자 한..

일반적으로 이용하는 행렬곱의 방법 행렬의 곱은 일반적으로 다음과 같이 생각한다. 수식을 이용해 조금 더 정확하게 쓰면 다음과 같다. 이것을 잘 뜯어 생각해보면, 왼쪽에 있는 행렬에서 행 하나를 가져오고 오른쪽에 있는 행렬에서 열 하나를 가져와서 계산하게 된다는 것을 알 수 있다. 또, 가져온 행 혹은 열을 벡터로 생각한다면 계산된 행렬의 각 원소값은 벡터의 내적을 표현한 것임을 알 수 있다. 즉, 식(2)의 계산 결과에서 1행 1열의 원소값은 계산 되기 전 두 행렬 중 왼쪽 행렬의 1행의 행벡터와 오른쪽 행렬의 1열의 열벡터를 가져와 계산한 것임을 알 수 있다. 즉, 일반적으로 이용하는 행렬곱의 관점은 행벡터와 열벡터 간의 내적(inner product)을 계산함으로써 행렬곱이 이루어진다는 것을 알 수 ..

벡터란 무엇인가? 벡터의 기본 연산에 대해 이야기 하기 전에 벡터란 무엇인지부터 생각해보도록 하자. 1) 벡터란 화살표 같은 것 우선 바로 떠오르는 것은 벡터란 물리학에서 말하는 ‘크기와 방향으로 정의되는 값’이라고 할 수 있다. 이것은 기하학적인 벡터의 특성을 잘 반영하고 있는 정의라고 할 수 있으며, 특히 벡터의 좌표계의 변환에 대한 불변성(invariance)을 잘 표현하고 있다. 좌표계의 변환에 대해 불변적이라는 말은 아래 그림에서 처럼 좌표계가 변하더라도 벡터 그 자체는 가만히 있다는 것을 의미한다. 기하학적 특성을 반영 좌표계의 변환에 대해 불변함 이러한 벡터 정의에 대해 첨언하자면 이러한 ‘크기와 방향으로 정의되는 값’이라는 설명은 Euclidean 벡터에 한해서만 적용해 설명할 수 있다는게..