이항 분포 (Binomial Distribution)

1. 정의

베르누이 시행을 n번 했다.

각 시행이 독립이라는 것은 베르누이 시행 조건중 하나이다.

따라서 베르누이 시행이라고 하면 따로 독립을 언급할 필요가 없다.

 

이 시행에서 발생할 확률을 p라고 하자.

사건이 발생한 횟수를 확률변수 x로 했을 때의 분포가 이항분포이다

 

2. 예시

3. 일반화

어떤 독립시행에서 특정 사건이 발생할 확률은 p이다.

이 시행을 n번 했을 때, 사건이 발생할 횟수를 x라고 하자.

이 때의 확률 분포가 이항분포이고 아래와 같다.

시행 횟수가 n, 사건 발생 확률이 p인 이항분포를 기호로 표현하면 아래와 같다. B는 binomial의 약자이다.

4. 통계랑

(1) 평균 구하기

x가 0일 때는 값이 0이므로 시그마의 시작을 1부터로 바꿀 수 있다.

아래와 같이 변형하자.

p와 n은 시그마에 독립적이므로 아래와 같이 꺼내줄 수 있다. x는 약분된다.

이제 치환을 하자. 

n-1 -> m

x-1 -> r

이번에는 n-1에서 x-1을 뺍시다. 나머지도 치환하자. 그러면 아래와 같이 나온다.

조합 표현으로 바꿔보자.

빨간색 부분은 시행횟수가 m이고 사건 발생 확률이 p인 이항분포 전체 확률의 합이다.

따라서 값은 1이고 아래와 같은 결과를 얻는다.

5. 분산

분산은 대충 이렇게 구한다.

6. 그래프

표본이 커질수록 종모양이 된다.

단 너무 커도 안좋다.