선형대수 - 행렬과 선형변환

✏️ Mathemathics/Linear Algebra

U-chan Seon 2021. 7. 19. 18:19

행렬의 곱이라는 것은 두 열벡터의 선형 결합으로 볼 수 있지 않을까? 의 관점으로 볼 수 있다.

행렬 자체가 열벡터에 대한 함수로 작동할 수 있다.

함수인데 특정한 규칙이 정해진 함수라고 생각할 수 있다.

임의의 벡터 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 와 스칼라 $c$ 에 대하여 변환 $T$ 가 다음의 두 조건을 만족한다면 이 변환 $T$ 는 선형변환이다.

따라서, 위의 선형 변환의 성질에 따라, 임의의 벡터 (x, y)에 대해서

다음이 성립한다.

x와 y는 분리가 된다.

원래의 기저 벡터 두 개를 아래와 같이 $\hat{i}$ , $\hat{j}$ 라 하고,

새로운 기저 벡터를 ${\hat{i}}_{n e w}$ , ${\hat{j}}_{n e w}$ 라 했을 때,

$T$ 가 선형변환이라면, 벡터 $[\begin{matrix} x y \end{matrix}]$ 는 선형 변환 후에

새로운 기저 벡터 ${\hat{i}}_{n e w}$ 와 ${\hat{j}}_{n e w}$ 의 $x$ 배와 $y$ 배의 합으로 표현되어야 한다는 것이다.

새로운 빨간 점은 새로운 기저벡터 들의 합으로 표현된다.

이것이 선형 변환이 가져다 주는 의미이다.

여러 선형 변환의 시각적 예시